怎么求3x3矩陣的逆矩陣

先求行列式的值，再寫出伴隨矩陣，最后用行列式的值的倒數去乘伴隨矩陣。 或者矩陣右邊加上三階單位矩陣，任何作初等變換，使左邊變成三階單位矩陣，然后右邊就是要求的逆矩陣了。 說的有點亂- -，書上應該很詳細的吧

本文我們將從以下幾個部分來詳細介紹如何求3X3矩陣的逆矩陣：傳統的計算方法、楔積法（使用格拉斯曼代數）、參考

手工計算一個3x3矩陣的逆矩陣是一項繁瑣的工作，但它非常有用，比如求解各種矩陣方程。第一部分：傳統的計算方法

運用初等行變換換成E矩陣，然后有耐心地一步一步進行初等行變換，步驟寫得很詳細可以看一下。

第1步：求出 det(M) ,也就是矩陣M的行列式的值。

矩陣里沒有較多成塊的零元素 是不能用分塊矩陣來求的 而且這里元素不多 3*3矩陣直接A，E 1 2 -1 1 0 0 3 4 -2 0 1 0 5 -4 1 0 0 1 r2-3r1，r3-5r1 ~ 1 2 -1 1 0 0 0 -2 1 -3 1 0 0 -14 6 -5 0 1 r1+r2，r3-7r2 ~ 1 0 0 -2 1 0 0 -2 1 -3 1 0 0 0

行列式的值通常顯示為逆矩陣的分母值，如果行列式的值為零，說明矩陣不可逆。

左邊矩陣第一行的元素分別與右邊矩陣第一列的元素相乘，求和得到相乘矩陣的第一行的第一個元素。左邊矩陣第一行的元素分別與右邊矩陣第二列的元素相乘，求和得到相乘矩陣的第一行的第二個元素。以此類推。 具體方法如下圖： 擴展資料：例如： 矩

第2步：求出 MT , 即轉置矩陣。

橫向消元有一個問題就是，如果不是整數，太麻煩。感覺對于三階陣，還不如伴隨矩陣法方便。

矩陣的轉置體現在沿對角線作鏡面反轉，也就是將元素 (i,j) 與元素 (j,i) 互換。

顯然就是一行一行來計算 先找到第一列的一個1 (或者某行除以其第一個數) 確定是哪一行 再別的行都減去 那個是第一個數是1的行乘以其自己行的數 那樣第一列就只剩一個為1，別的是零 以此推類，對每一列都這樣處理 最后(A，E)~(E，A^-1)

第3步：求出每個2X2小矩陣的行列式的值。

和單位矩陣寫在一起然后對原矩陣初等行變換，等原來矩陣變成單位陣，那么之前的單位矩陣就變成逆了。

第4步：將它們表示為如圖所示的輔助因子矩陣，并將每一項與顯示的符號相乘。

和單位矩陣寫在一起然后對原矩陣初等行變換，等原來矩陣變成單位陣，那么之前的單位矩陣就變成逆了。

這樣就得到了伴隨矩陣（有時也稱為共軛矩陣），用 Adj(M) 表示。

問題在于 (3A)* ≠ 3A* ! 而是 (kA)* = k^(n-1)A*。 即對于三階矩陣 A， (3A)* = 3^(3-1) A* = 9A* ！

第5步：由前面所求出的伴隨矩陣除以第一步求出的行列式的值，從而得到逆矩陣。

假設一個三階矩陣 a = [ [1 0 0]， [0 2 0]， [0 0 3] ] a的逆矩陣為np.linalg.inv(a) 如果求不出來證明沒有逆矩陣

第6步：對逆矩陣轉置，然后列出每個元素周圍的2x2矩陣。

來個最基礎的吧？別看下面的，估計你還沒學到初等矩陣的行變換以及相關結論，最簡單就變成上或下三角行列式就行，對吧？首先，把全部不為0的換到第一行（加負號），然后把第一列都變為0（第二行，第三行），然后再利用第二行把第三行的第二列變

檢查三遍行列式的值，如果和原矩陣對應的位置的數相同，那么你求出的結果就是原矩陣的逆矩陣。使用這個方法，不需要擔心符號的問題。

【知識點】 若矩陣A的特征值為λ1，λ2，，λn，那么|A|=λ1·λ2··λn 【解答】 |A|=1×2××n= n！ 設A的特征值為λ，對于的特征向量為α。 則 Aα = λα 那么 (A²-A)α = A²α - Aα = λ²α - λα = (λ²-λ)α 所以A²-A的特征值

第二部分：楔積法（使用格拉斯曼代數）

根據定理，把原矩陣變換到單位矩陣的 行變換， 正好把單位矩陣變換到逆矩陣。 所以只要把原矩陣和單位矩陣寫在一起，然后進行變換，把原矩陣變換到單位矩陣即可。

第1步：用M表示3x3的矩陣，D表示它的逆矩陣。

(A, E) = [ 0 -2 1 1 0 0] [ 3 0 -2 0 1 0] [-2 3 0 0 0 1] 交換 2，3 行，初等行變換為 [ 3 0 -2 0 1 0] [ 0 -2 1 1 0 0] [-2 3 0 0 0 1] 第 3 行加到第 1 行，初等行變換為 [ 1 3 -2 0 1 1] [ 0 -2 1 1 0 0] [-2 3 0 0 0 1] 第 1 行 2 倍加到

用c

_i表示M的列向量，其中i = 0..2。

公式如下： 求元索為具體數字的矩陣的逆矩陣，常用初等變換法‘如果A可逆，則A’可通過初等變換，化為單位矩陣 I ，即存在初等矩陣使 可以看到當A通過初等變換化為單位處陣的同時，對單位矩陣I作同樣的初等變換，就化為A的逆矩陣 這就是求逆矩陣的

第2步：計算D = c

#include #include #include // 獲取矩陣的大小templatestruct matrix_size; templatestruct matrix_size { typedef T type; static size_t const value = N;}; templatebool inv(Array &out, Array const &in_) { typedef typename matrix_size

^ c

₁ ^ c

₂，其中'^'表示楔積。

1,0,0，1,0,0 0,0,1，0,1,0 0,1,0，0,0,1 交換后兩行得 1,0,0，1,0,0 0,1,0，0,0,1 0,0,1，0,1,0 后3列即為逆矩陣， 與原矩陣同。

如果D為零，那說明M沒有逆矩陣。

一般用初等行變換A|E 變換成E|B 此時B就是A的逆矩陣 此方法，叫Gauss-Jordan法 另一種方法，是用伴隨矩陣，A^(-1)=A*/|A|

否則，M-1的第i行 = (c

可以得到第三行元素為（0,3,3），與第一行相等， 由此可知，行列式A 的秩小于等于2，A為非滿秩方陣。 即IAI=0

_{(i+1) mod 3} ^ c

_{(i + 2) mod 3})) / D，其中i = 0.2

小提示

注意，這個方法也可以應用于含變量或未知量的矩陣中，比如代數矩陣 M 和它的逆矩陣 M-1 。

將所有步驟都寫下來，因為要想心算3X3矩陣的逆是極其困難的。

有些計算機程序也可以計算出矩陣的逆。最高可以求出30X30的矩陣。

伴隨矩陣是輔助因子矩陣的轉置，這就是為什么在第二步中我們要將矩陣轉置以求出輔助因子的轉置矩陣。

可以通過將 M 與 M-1相乘檢驗結果。你應該能夠發現，M*M-1 = M-1*M = I. I 是單位陣，其對角線上的元素都為1，其余元素全為0。否則，你可能在某一步出了錯。

警告

不是所有的3X3矩陣都存在逆矩陣。如果矩陣的行列式的值為零，它就不存在逆矩陣。 (注意到在公式里我們會除以 det(M)，除數為零時是沒有意義的。)

參考

http://www.math.columbia.edu/~bayer/LinearAlgebra/

http://www.bluebit.gr/matrix-calculator/

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怎么求三階矩陣的逆矩陣？

和單位矩陣寫在一起然后對原矩陣初等行變換，等原來矩陣變成單位陣，那么之前的單位矩陣就變成逆了。

求三階矩陣逆矩陣

如圖

A是三階方陣，3A的逆矩陣為什么不是這樣求的

問題在于 (3A)* ≠ 3A* ! 而是 (kA)* = k^(n-1)A*。

即對于三階矩陣 A， (3A)* = 3^(3-1) A* = 9A* ！更多追問追答追問沒看懂，能不能推一下3A*不是這個嗎畫錯了是矩陣符號但是問題還在啊追答有伴隨矩陣的定義，每個元素都是代數余子式，即 n-1 階行列式。

則 (kA) 的伴隨矩陣，其元素都是由 kaij 組成的 n-1 階行列式，

每行提取k， 共提取了 n-1 個 k， 即 k^(n-1)， 則有 (kA)* = k^(n-1)A*追問完美的解答😁謝謝你啊

用Python實現三階矩陣的求逆？

假設一個三階矩陣

a = [ [1 0 0]，

[0 2 0]，

[0 0 3] ]

a的逆矩陣為np.linalg.inv(a)

如果求不出來證明沒有逆矩陣

跪求三階矩陣求逆矩陣的簡便算法或者公式。。。。不要說求代數余子式啊

來個最基礎的吧？別看下面的，估計你還沒學到初等矩陣的行變換以及相關結論，最簡單就變成上或下三角行列式就行，對吧？首先，把全部不為0的換到第一行（加負號），然后把第一列都變為0（第二行，第三行），然后再利用第二行把第三行的第二列變為0，這就成上三角行列式了，這求可以求了，這個方法對于有限數字行列式都是適用的，另外，希望你學過行列式的相關性質，不然你這個方法也不懂的，望采納。

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